Điều kiện để bất phương trình có nghiệm

Tìm m để bất phương trình có nghiệm là tài liêu vô cùng hữu ích mà tutukit.com muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các em lớp 10 tham khảo.

Bạn đang xem: Điều kiện để bất phương trình có nghiệm

Tài liệu tổng hợp toàn bộ kiến thức về phương pháp, ví dụ và các dạng bài tập tìm m để phương trình có nghiệm có đáp án kèm theo. Qua đó giúp các em học sinh nhanh chóng nắm vững kiến thức để giải nhanh các bài Toán 10. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm Công thức tính độ dài đường trung tuyến.


1. Phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm

Phương pháp: Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình vô nghiệm ta sử dụng các lập luận như sau: (ta xét với bất phương trình bậc hai một ẩn)

f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈
*
. Nghĩa là
*
. Nghĩa là
*
.

Hướng dẫn giải

Đặt (m - 1)x2 + 2mx - 3 = f(x)

TH1: m - 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x - 3 > 0⇒

*

TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x

*

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc

*
.

Ví dụ 2: Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc

*
.

a. (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 2 + (m - 3)x + 4 > 0

Hướng dẫn giải

a. Đặt (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 = f(x)

TH1: m - 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 2 - 6m + 25 = (m - 3)2 + 16 ≥ 16,∀m

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc

*

b. Đặt (m - 1)x2 + (m - 3)x + 4 = f(x)

TH1: m - 1 = 0 ⇔ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇔ x

TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x

*

Vậy

*
thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc
*
.

3. Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm

Bài 1: Tìm m để bất phương trình x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ <0; 1>

Hướng dẫn giải:

Đặt x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ <0; 1>

Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn

*
\sqrt{2} \\ -2 \sqrt{2} \\ -2

Vậy với |m| 2x + 3 2x - mx 2 - m)x 2 - m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Với m2 - m ≠ 0 ⇔ m ≠ {0; 1} thì bất phương trình trở thành

*

Vậy m = -3 thì bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

Bài 7: Tìm m để bất phương trình: x4 + 2mx2 + m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x.

Xem thêm: Những Đoạn Văn Mẫu Viết Đoạn Văn Bằng Tiếng Anh Nói Về Thần Tượng Của Bạn

Hướng dẫn giải


Đặt t = x2, t ≥ 0

Khi đó bất phương trình trở thành:

f(t) = t2 +2mt + m ≥ 0 (*)

⇒Δ" = m2 - m

Trường hợp 1: Δ" ≤ 0 ⇔ m2 - m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1

Khi đó (*) luôn đúng.

Trường hợp 2: Nếu Δ" > 0, điều kiện là phương trình f(t) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: t1 2 ≤ 0

Tóm lại ta cần suy ra như sau:

*

Vậy m ≥ 0 thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị x.

4. Bài tập vận dụng tìm m để bất phương trình có nghiệm

Bài 1: Cho tam thức f(x) = x2 - 2mx + 3m - 2. Tìm điều kiện của m để tam thức f(x) > 0, ∀x ∈ <1; 2> .

Bài 2: Xác định m sao cho với mọi x ta đều có: mx2 - 4x + 3m + 1 >0

Bài 3: Tìm m để bất phương trình: x2 - 2x + 1 - m2 ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ <1; 2>.

Bài 4: Tìm m để bất phương trình: (m - 1)x2 + (2 - m)x- 1 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (1; 2).

Bài 5: Tìm m để bất phương trình: 3(m - 2)x2 + 2(m + 1)x + m - 1 2 - 2mx + 4 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 0,5).

Bài 7: Tìm điều kiện của m để mọi nghiệm của bất phương trình: x2 + (m - 1)x - m ≤ 0

đều là nghiệm của bất phương trình.

Xem thêm: Cách Chữa Bệnh Trĩ Tại Nhà Bằng Thuốc Nam Dân Gian Không Phẫu Thuật

Bài 8: Với giá trị nào của m thì bất phương trình: (m - 2)x2 + 2mx - 2 - m 2 + 2)x2 - 2mx + 1 - m > 0

Nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (2; +∞)

Bài 10: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để bất phương trình f(x) = 2mx2 - (1 - 5m)x + 3m+ 1>0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-2; 0).